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臺大電機系師生的「機率創意遊戲」,首度精華呈現!
BJ4online
難度:★★★
解題提示:解題者必須了解均勻分布的意義、期望值的觀念,並且能接受並運用數學上的對稱性。若能了解捲積以及隨機變數相加的概念,將可從不同角度了解題目(不過並非必要)。
原作者:謝瑞賢、吳冠融、黃大珉
某個悠閒的午後,阿賢打開網路射擊遊戲「BJ4Online」想好好放鬆一下。
才登入遊戲,就發現官方送了一筆虛擬金幣,於是,他想用這筆錢來強化自己的軍備。研究遊戲網站中所有關於裝備的評價文章之後,發現有一把名為「貝里尼M1」的霰彈槍。
以半自動霰彈槍來說相當輕便,連射性能也算相當出眾。槍身較短,便於攜帶,因此許多軍隊都採用這款槍枝。然而,雖然可以在近距離內發揮強大威力,但隨著距離拉遠,威力會迅速減弱,這是它的缺點。
阿賢看過說明文字後,覺得自己應該很適合這把槍,於是開啟練習模式準備試用。
試用後他發現,這把霰彈槍的殺傷力確實會隨距離減弱,當槍口距離敵人d時,子彈殺傷力會於40–d至50–d區間內呈均勻分布。
「那就來玩玩看吧!」
阿賢買下這把槍,進入實戰,他輕巧地穿梭著,很快便發現了目標。此時他距目標35/3單位,不過對方並沒有發現他。在這種狀況下,阿賢準確地朝對手連開三槍。
在遊戲中中,當玩家受到的傷害值到達一百單位,生命值便會歸零。
「會死嗎?會死嗎?」
剛考完機率期末考,阿賢大腦裡那些靠熬夜記下來的機率計算迴路還沒消失,他下意識開始進行高速計算,光靠這三槍就能解決對方的機率是多少。
「每次手槍所造成的傷害可視為獨立事件,總傷害分布應由各次傷害的機率密度函數進行三次旋積。單次傷害呈均勻分布,兩個均勻分布的機率密度函數旋積後,呈三角形分布,再旋積一次後,得到的機率密度函數則呈拋物線形,再將『總傷害大於一百』區域內的機率積分,即可得出答案……嗯,等等。」
不只要解出答案,還要用優雅的解法,才算真正懂機率。阿賢重新思考了一下,發現問題沒這麼複雜。
把數字代進去的話,在距離35/3處所造成的傷害,在85/3至115/3間呈均勻分布。但是仔細一想,會發現其對稱於單次傷害的期望值是100/3。換句話說,對於任意的x,單次造成的傷害是100/3+x和100/3–x的機率是相等的。而阿賢所做的,是把這個過程重複三次;就像把均衡的骰子丟個幾次取點數和,結果仍然是均衡的,即便是考慮三次射擊造成的傷害,依舊沒有任何因素使得期望值以上和以下的機率不同;因此,由於機率分布對稱於100,自然有一半的機率可以使傷害能超過一百,換言之,殺傷率為50%。
若由旋積的角度來看這個問題,將均勻分布的機率密度函數進行旋積後,得到的機率密度函數依然有對稱性,將三個均勻分布的機率密度函數旋積後,便對稱於三倍的原期望值,也就是一百。
連紙筆都不用,就可以輕鬆地算出結果。阿賢對還沒公佈的期末考結果感到安心。
「不過,老實說,誰管他概率是多少。」阿賢聳聳肩,又補上好幾槍,沒有任何妥協,愉快地送對手上路。
這就是人蔘……不,是人生。
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本文摘自究竟出版《葉丙成的機率驚豔:當數學遇上文學,學生考不好也會笑著離開》